เฉลยข้อ 1 — BSM เปิดตาราง z
(ก) คำนวณ $d_1, d_2$:
$$d_1 = \frac{\ln(45/44)+(0.05+0.25^2/2)(0.5)}{0.25\sqrt{0.5}} = \frac{0.02247+0.04063}{0.17678} \approx 0.3569$$
$$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} = 0.3569 - 0.1768 \approx 0.1802$$
(ข) เปิดตาราง z:
ปัด $d_1 \approx 0.36$ → $N(0.36) = 0.6406$ · ปัด $d_2 \approx 0.18$ → $N(0.18) = 0.5714$
(ค่าละเอียด: $N(0.3569) = 0.6394$, $N(0.1802) = 0.5715$)
(ค) ราคา Call:
$$C = 45(0.6394) - 44\,e^{-0.025}(0.5715) = 28.773 - 44(0.9753)(0.5715) \approx 28.77 - 24.52 \approx 4.25 \text{ บาท}$$
ยอมรับ 4.1–4.4 ตามการปัดค่าตาราง
(ง) ราคา Put ด้วย Put-Call Parity:
$$P = C - S_0 + Ke^{-rT} = 4.25 - 45 + 44\,e^{-0.025} = 4.25 - 45 + 42.91 \approx 2.16 \text{ บาท}$$
ยอมรับ 2.0–2.3
เฉลยข้อ 2 — อาร์บิทราจฟอร์เวิร์ด ราคาต่ำเกิน
(ก) ราคาฟอร์เวิร์ดยุติธรรม:
$$F_0^* = 300\,e^{0.03\times1} = 300 \times 1.03045 = 309.14 \text{ บาท}$$
(ข) ตลาด 305 < ยุติธรรม 309.14 → ราคาตลาดต่ำเกิน 4.14 บาท
(ค) กลยุทธ์: "ซื้อของถูก" = ซื้อฟอร์เวิร์ด + ขายชอร์ตหุ้น
| การกระทำ | กระแสเงินสดวันนี้ | กระแสเงินสดครบกำหนด ($T=1$) |
|---|
| ขายชอร์ตหุ้น | $+300$ | $-S_T$ |
| นำเงิน 300 ไปลงทุนที่ $r = 3\%$ | $-300$ | $+300e^{0.03} = +309.14$ |
| ซื้อฟอร์เวิร์ด (ราคา 305) | $0$ | $+S_T - 305$ |
| รวม | $0$ | $309.14 - 305 = +4.14$ |
(ง) กำไรไร้ความเสี่ยง = 4.14 บาทต่อหน่วย ไม่ว่า $S_T$ จะเป็นเท่าใด
จุดสำคัญ: ฟอร์เวิร์ดถูกเกิน → ซื้อฟอร์เวิร์ด (ไม่ใช่ขาย) ทิศตรงข้ามกับกรณีราคาสูงเกิน
เฉลยข้อ 3 — Put-Call Parity ปันผล + อาร์บิทราจ
(ก) PV ของปันผล:
$$PV(\text{div}) = 2\,e^{-0.05\times0.5} = 2\,e^{-0.025} = 2 \times 0.9753 = 1.9506 \text{ บาท}$$
(ข) Put-Call Parity ที่มีปันผล: $C + Ke^{-rT} + PV(\text{div}) = P + S_0$
$$P_{\text{fair}} = C + Ke^{-rT} + PV(\text{div}) - S_0 = 7 + 100e^{-0.05} + 1.9506 - 98$$
$$= 7 + 95.123 + 1.9506 - 98 = 6.07 \text{ บาท}$$
(ค) ราคาตลาด 9 บาท > $P_{\text{fair}}$ 6.07 บาท → put ในตลาดแพงเกิน 2.93 บาท
(ง) กลยุทธ์อาร์บิทราจ:
ขาย put ตลาด (รับ +9 บาท) + สร้าง put สังเคราะห์ราคา 6.07 บาทด้วย: ซื้อ call (จ่าย 7) + ขายชอร์ตหุ้น (รับ 98) + ฝากเงิน $Ke^{-rT}$ และ $PV(\text{div})$ ณ อัตรา $r$
→ ล็อกกำไร $\approx 2.93$ บาทต่อหน่วย ไม่ว่า $S_T$ จะเป็นเท่าใด
เฉลยข้อ 4 — American Put กับการใช้สิทธิ์ก่อนกำหนด
(ก) ขอบล่าง European put:
$$P_E \ge \max\!\left(Ke^{-rT} - S_0,\;0\right)$$
เพราะ $Ke^{-rT} < K$ เมื่อ $r > 0$ ดังนั้น $Ke^{-rT} - S_0 < K - S_0$ = มูลค่าใช้สิทธิ์ทันที ขอบล่างของ European put จึงต่ำกว่ามูลค่าใช้สิทธิ์ทันทีเสมอ
(ข) เหตุผลเชิงเศรษฐศาสตร์:
สำหรับ put ที่ deep in-the-money การใช้สิทธิ์ทันทีรับเงิน $K - S_0$ แล้วนำ $K$ ไปลงทุนได้ดอกเบี้ย $rK$ ต่อปี ซึ่งอาจมากกว่า time value ที่ยังเหลืออยู่ในออปชัน (เมื่อ put ลึก in-the-money มาก time value เกือบเป็นศูนย์ แต่ดอกเบี้ยบน $K$ ยังคงได้รับถ้ารับเงินเดี๋ยวนี้)
(ค) American put ให้สิทธิ์ใช้ก่อนกำหนด ดังนั้น $P_A \ge P_E$ เสมอ และมักมากกว่า
American call บนหุ้นไม่ปันผล: ขอบล่าง $C \ge S_0 - Ke^{-rT} > S_0 - K$ เมื่อ $r > 0$ — ราคาตลาด call สูงกว่ามูลค่าใช้สิทธิ์ทันทีเสมอ จึงไม่คุ้มที่จะใช้สิทธิ์ก่อน American call = European call
เฉลยข้อ 5 — Implied Volatility Newton-Raphson
(ก) $d_1, d_2$ ที่ $\sigma = 0.25$:
$$d_1 = \frac{\ln(50/50)+(0.04+0.03125)(1)}{0.25} = \frac{0 + 0.07125}{0.25} = 0.2850$$
$$d_2 = 0.2850 - 0.25 = 0.0350$$
(ข) เปิดตาราง z:
ปัด $d_1 \approx 0.29$ → $N(0.29) = 0.6141$ · ปัด $d_2 \approx 0.04$ → $N(0.04) = 0.5160$
(ละเอียด: $N(0.285) = 0.6122$, $N(0.035) = 0.5140$)
(ค) ราคา BSM:
$$C_{BSM}(0.25) = 50(0.6122) - 50\,e^{-0.04}(0.5140) = 30.61 - 50(0.9608)(0.5140) \approx 30.61 - 24.69 = 5.92 \text{ บาท}$$
(ง) Vega:
$$\mathcal{V} = 50 \times \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-0.285^2/2} \times 1 = 50 \times 0.3833 \approx 19.15$$
(จ) Newton-Raphson รอบ 1:
$$\sigma_1 = 0.25 + \frac{6.5 - 5.92}{19.15} = 0.25 + \frac{0.58}{19.15} \approx 0.25 + 0.0303 \approx 28.0\%$$
เฉลยข้อ 6 — Long Butterfly Spread
(ก) ต้นทุนสุทธิ:
$$\text{Net Cost} = 13 - 2(6) + 2 = 3 \text{ บาท}$$
(ข) กำไรสูงสุด = $(K_2 - K_1) - \text{ต้นทุน} = (90-80)-3 = 7$ บาท เกิดเมื่อ $S_T = K_2 = 90$ บาท
(ค) ขาดทุนสูงสุด = ต้นทุนสุทธิ = 3 บาท (เกิดเมื่อ $S_T \le 80$ หรือ $S_T \ge 100$)
(ง) จุดคุ้มทุน:
$$\text{ล่าง} = K_1 + \text{ต้นทุน} = 80 + 3 = 83 \text{ บาท}$$
$$\text{บน} = K_3 - \text{ต้นทุน} = 100 - 3 = 97 \text{ บาท}$$
(จ) นักลงทุนคาดว่าราคาจะ ไม่เคลื่อนไหวมาก และอยู่ใกล้ $K_2 = 90$ — มุมมอง low volatility / sideways · กลยุทธ์มี upside จำกัดและ downside จำกัด
เฉลยข้อ 7 — ฟอร์เวิร์ดดัชนีปันผลต่อเนื่อง
(ก) สูตร:
$$F_0 = S_0\,e^{(r-q)T}$$
(ข) คำนวณ:
$$F_0 = 500\,e^{(0.04-0.02)(0.5)} = 500\,e^{0.01} = 500 \times 1.01005 = 505.03 \text{ จุด}$$
(ค) อัตราปันผล $q$ ทำให้ราคาฟอร์เวิร์ด ต่ำลง เพราะผู้ถือหุ้นได้รับปันผลระหว่างทาง แต่ผู้ long ฟอร์เวิร์ด ไม่ได้รับปันผล — ราคาฟอร์เวิร์ดจึงต้องถูกกว่ากรณีไม่มีปันผลเพื่อชดเชยส่วนที่เสียไป
เฉลยข้อ 8 — P&L Delta-Gamma-Theta
(ก) สูตร:
$$\Delta V = \Delta\,(dS) + \frac{1}{2}\Gamma\,(dS)^2 + \Theta\,(\Delta t)$$
(ข) คำนวณแต่ละเทอม ($dS = +3$, $\Delta t = 1$ วัน):
$$\Delta V = 0.55(3) + \frac{1}{2}(0.04)(9) + (-0.02)(1) = 1.65 + 0.18 - 0.02 = 1.81 \text{ บาท}$$
(ค) เทอม Gamma ให้ผล บวกเสมอ เพราะ $\frac{1}{2}\Gamma(dS)^2 \ge 0$ ไม่ว่าราคาจะขึ้นหรือลง — เป็น convexity benefit ของ long option position
(ง) ถ้า $dS = 0$: $\Delta V = 0 + 0 + (-0.02)(1) = -0.02$ บาทต่อวัน (ขาดทุน 0.02 บาทจาก time decay)
เฉลยข้อ 9 — Volatility Skew
(ก) ปรากฏการณ์นี้คือ Volatility Skew (หรือ Smirk) — implied vol เอียงไปสูงฝั่ง put OTM BSM สมมติ $\sigma$ คงที่ทุก strike แต่ข้อมูลจริงแสดงว่า $\sigma_{\text{implied}}$ แตกต่างกัน ซึ่งขัดสมมติฐาน BSM โดยตรง
(ข) หลังวิกฤตตลาด 1987 (Black Monday) นักลงทุนหวาดกลัวการตกแรง จึงยอมจ่ายพรีเมียมสูงเพื่อซื้อ put OTM เป็นประกันขาลง (crash protection) ทำให้ implied vol ฝั่ง put ถูก bid ขึ้น
(ค) skew สะท้อนว่าตลาดเชื่อว่าการตกแรง (fat left tail) เกิดบ่อย/รุนแรงกว่าที่ normal distribution ของ BSM ทำนาย — ตลาดรับรู้ความเสี่ยงหางซ้ายสูงกว่าโมเดล
(ง) ผู้ขาย put OTM รับพรีเมียมสูงแต่แบกความเสี่ยง tail risk — เมื่อตลาดตกแรงจะขาดทุนหนักมาก (short gamma + short vega ในทิศที่เจ็บปวดที่สุด) "เก็บเบี้ยปีนั้นนับร้อย ขาดทุนคืนเดียวล้านได้"
เฉลยข้อ 10 — Binomial Tree 3 ขั้น
(ก) พารามิเตอร์:
$$u = e^{0.20\sqrt{1/3}} = e^{0.1155} = 1.1224, \quad d = e^{-0.1155} = 0.8909$$
$$p = \frac{e^{0.05/3}-0.8909}{1.1224-0.8909} = \frac{1.01681-0.8909}{0.2315} = \frac{0.12591}{0.2315} \approx 0.5438$$
(ข) ราคาปลายทาง 4 โหนด ($t = T$):
| โหนด | ราคาหุ้น | Payoff Call ($K=100$) |
|---|
| $uuu$ | $100(1.1224)^3 = 141.4$ | $41.4$ |
| $u^2d$ | $100(1.1224)^2(0.8909) = 112.2$ | $12.2$ |
| $ud^2$ | $100(1.1224)(0.8909)^2 = 89.1$ | $0$ |
| $ddd$ | $100(0.8909)^3 = 70.7$ | $0$ |
(ง) Backward Induction ใช้ $e^{-r\Delta t} = e^{-0.05/3} = 0.9835$, $1-p = 0.4562$:
$$C_{uu} = 0.9835[0.5438(41.41)+0.4562(12.23)] = 0.9835(22.52+5.58) = 27.64$$
$$C_{ud} = 0.9835[0.5438(12.23)+0.4562(0)] = 0.9835(6.65) = 6.54$$
$$C_{dd} = 0$$
$$C_u = 0.9835[0.5438(27.64)+0.4562(6.54)] = 0.9835(15.03+2.98) = 17.71$$
$$C_d = 0.9835[0.5438(6.54)+0.4562(0)] = 0.9835(3.56) = 3.50$$
$$C_0 = 0.9835[0.5438(17.71)+0.4562(3.50)] = 0.9835(9.63+1.60) = 0.9835 \times 11.23 \approx 11.04 \text{ บาท}$$
(จ) ราคา BSM ≈ 10.45 บาท · Binomial 3 ขั้นให้สูงกว่าเล็กน้อยเพราะ discrete approximation — เพิ่มจำนวนขั้นจะยิ่งเข้าใกล้ BSM
ตารางเกณฑ์ประเมินระดับความสามารถ
| คะแนน | ระดับ | ความหมาย |
|---|
| 80–100 | A (เกรด 3.8) | เทียบเกรด 3.8 ในหัวข้ออนุพันธ์ได้จริง — เข้าใจลึกทั้งสูตร เหตุผล และอาร์บิทราจ |
| 65–79 | B+ (ใกล้แล้ว) | แม่นสูตรหลัก แต่ยังตกกับดักข้อพิสูจน์และข้อผสม — เน้น: พาริตี/อาร์บิทราจ/Greek |
| 50–64 | B | แม่นสูตร BSM และทวินาม แต่ยังอ่อนข้อแนวคิด/skew/American put |
| <50 | กลับชั้นพื้นฐาน | ทบทวน X1 + X2 ก่อน แล้วค่อยมาชุดนี้ใหม่ — อย่าเร่ง |
หมายเหตุ: ชุดนี้ออกแบบโหดจริง — ไม่แจกตัวกลาง ต้องเปิดตาราง z เอง มีข้อผสมหลายขั้น และข้อพิสูจน์เชิงแนวคิด ทำได้ 80%+ ด้วยตัวเองโดยไม่ดูเฉลยระหว่างทำ = ระดับ 3.8 จริงๆ · เนื้อหาทั้งหมดเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำลงทุน